જો શ્રેણિક $A = [a_{ij}]_{3 \times 3}$ અને $B = [b_{ij}]_{3 \times 3}$ હોય,જ્યાં દરેક $i, j$ માટે $a_{ij} + a_{ji} = 0$ અને $b_{ij} - b_{ji} = 0$ હોય,તો $A^4B^3$ એ:

જો $K = \left|\begin{array}{ll}3 & 4 \\ 5 & 4\end{array}\right| + \left|\begin{array}{cc}1 & -1 \\ 5 & 4\end{array}\right| + \left|\begin{array}{cc}\frac{1}{3} & \frac{1}{4} \\ 5 & 4\end{array}\right| + \left|\begin{array}{cc}\frac{1}{9} & -\frac{1}{16} \\ 5 & 4\end{array}\right| + \ldots \infty \text{ સુધી}$, તો $K = $

ધારો કે $a, b, c$ એ $x^5 = 1$ સમીકરણનું સમાધાન કરતા વાસ્તવિક ન હોય તેવી સંખ્યાઓ છે અને $S$ એ $\begin{bmatrix} 1 & a & b \\ w & 1 & c \\ w^2 & w & 1 \end{bmatrix}$ સ્વરૂપના તમામ અ-વ્યુત્ક્રમણીય શ્રેણિકોનો ગણ છે,જ્યાં $w = e^{\frac{i 2\pi}{5}}$. તો ગણ $S$ માં રહેલા ભિન્ન શ્રેણિકોની સંખ્યા શોધો.

ધારો કે $A$ એ વાસ્તવિક ઘટકો ધરાવતો $2 \times 2$ શ્રેણિક છે,જેથી $A^{T} = \alpha A + I$,જ્યાં $\alpha \in R - \{-1, 1\}$ છે. જો $\det(A^2 - A) = 4$ હોય,તો $\alpha$ ના તમામ શક્ય મૂલ્યોનો સરવાળો કેટલો થાય?

ધારો કે $A_1, A_2, A_3$ એ સમાન સામાન્ય તફાવત $d$ ધરાવતી ત્રણ સમાંતર શ્રેણીઓ ($A$.$P$.) છે અને તેમના પ્રથમ પદો અનુક્રમે $A, A+1, A+2$ છે. ધારો કે $a, b, c$ એ $A_1, A_2, A_3$ ના અનુક્રમે $7^{\text{th}}, 9^{\text{th}}, 17^{\text{th}}$ પદો છે,જેથી $\left|\begin{array}{lll} a & 7 & 1 \\ 2b & 17 & 1 \\ c & 17 & 1\end{array}\right|+70=0$ થાય. જો $a=29$ હોય,તો જેનું પ્રથમ પદ $c-a-b$ અને સામાન્ય તફાવત $\frac{d}{12}$ હોય તેવી સમાંતર શ્રેણીના પ્રથમ $20$ પદોનો સરવાળો $........$ છે.

જો ${\Delta _r} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} r&{2r - 1}&{3r - 2} \\ {\frac{n}{2}}&{n - 1}&a \\ {\frac{1}{2}n\left( {n - 1} \right)}&{{{\left( {n - 1} \right)}^2}}&{\frac{1}{2}\left( {n - 1} \right)\left( {3n - 4} \right)} \end{array}} \right|$ હોય,તો $\sum\limits_{r = 1}^{n - 1} {{\Delta _r}} $ નું મૂલ્ય: